Ondas

Descripción matemática

Onda con amplitud constante.

Ilustración de una onda (en azul) y su envolvente (en rojo).

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es la onda sinusoidal descrita por la función $f(x,t) = A\sin(\omega t-kx)\,$

donde $A$ es la amplitud de una onda (la elongación máxima o altura de la cresta de la onda). Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la onda.

La longitud de onda (simbolizada por $\lambda$ ) es la distancia entre dos crestas o valles seguidos. Se mide en unidades de longitud, tales como el metro(m), sus múltiplo o submúltipos según convenga. Así, en la óptica, la longitud de onda de la luz se mide en nanómetros.

Un número de onda angular $k$ puede ser asociado con la longitud de onda por la relación:

$k = \frac{2 \pi}{\lambda} \,$

Cada partícula de un medio material en el que se propaga una onda mecánica de desplazamiento transversal realiza una oscilación armónica simple en dirección transversal a la dirección de propagación de la onda.

El periodo $T$ es el tiempo requerido para que el movimiento de oscilación de la onda describa un ciclo completo. La frecuencia $f$ es el número de ciclos completos transcurridos en la unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo). Es medida en hercios. Matemáticamente se define sin ambigüedad como:

$f=\frac{1}{T} \,$

En otras palabras, la frecuencia y el periodo de una onda son recíprocas entre sí.

La frecuencia angular $\omega$ representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por

$\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \,$

Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y está dada por:

$v_p = \frac{\omega}{k} = {\lambda}f$

La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} \,$

Ecuación de onda

La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de como se transmite la onda, y del medio a través del cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad $v$ y con una amplitud $u$ (que generalmente depende tanto de $x$ y de $t$ ), la ecuación de onda es:

$\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,$

Trasladado a tres dimensiones, sería

$\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nabla^2 u \,$

donde $\nabla^2$ es el operador laplaciano.

La velocidad $v$ depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja.

Jean le Rond d'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una dimensión:

$u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt). \,$

Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación de una onda en tres dimensiones.

La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.

Onda simple

es una perturbación que varía tanto con el tiempo $t$ como con la distancia $z$ de la siguiente manera:

$y(z,t) = A(z, t)\ {\rm{sen}}(kz - \omega t + \phi), \,$

donde $A(z, t)$ es la amplitud de la onda, $k$ es el número de onda y $\phi$ es la fase. La velocidad de fase v_f de esta onda está dada por

$v_f = \frac{\omega}{k}= \lambda f, \,$

donde $\lambda$ es la longitud de onda.

Onda estacionaria

Onda estacionaria (en negro) originada por la interferencia entre dos ondas progresivas en direcciones opuestas: en azul la que avanza hacia la derecha y en rojo la que se propaga hacia la izquierda. Los puntos rojos representan los nodos de la onda estacionaria.

Una onda estacionaria es aquella que permanece fija, sin propagarse a través del medio. Este fenómeno puede darse, bien cuando el medio se mueve en sentido opuesto al de propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio estático como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en sentidos opuestos.

La suma de dos ondas que se propagan en sentidos opuestos, con idéntica amplitud y frecuencia, dan lugar a una onda estacionaria. Las ondas estacionarias normalmente aparecen cuando una frontera bloquea la propagación de una onda viajera (como los extremos de una cuerda, o el bordillo de una piscina, más allá de los cuales la onda no puede propagarse). Esto provoca que la onda sea reflejada en sentido opuesto e interfiera con la onda inicial, dando lugar a una onda estacionaria. Por ejemplo, cuando se rasga la cuerda de un violín, se generan ondas transversales que se propagan en direcciones opuestas por toda la cuerda hasta llegar a los extremos. Una vez aquí son reflejadas de vuelta hasta que interfieren la una con la otra dando lugar a una onda estacionaria, que es lo que produce su sonido característico.

Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar regiones donde la amplitud es nula (nodos) y otras donde es máxima (vientres). La distancia entre dos nodos o vientres consecutivos es justamente $\lambda/2$ , donde $\lambda$ es la longitud de onda de la onda estacionaria.

Al contrario que en las ondas viajeras, en las ondas estacionarias no se produce propagación de energía.

Para calcular la velocidad de onda estacionaria se aplica la formula:

$Y_{r} = A_{r} \cos ( \omega t )$ donde $A_r = 2A \sin kx$

donde $A_r$ es la amplitud de la onda de cada punto del medio y $\omega$ es la pulsación en cada punto del medio. Como la amplitud de la onda depende de $\sin kx$ tendremos que se anulará cuando $kx = n\pi$ para $n = 0, 1, 2, 3,...$ . Por lo tanto como el número de onda sustituyendo tendremos que

$kx = n\pi$ , por lo que $\sin n\pi = 0$ para $n = 0,1,2,3, ...$ .

Propagación en cuerdas

La velocidad de una onda viajando a través de una cuerda en vibración (v) es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda (T) por su densidad lineal(μ):

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$